загрузка...

12.1. загальні поняття

0 Означення 1. Звичайними диференціальними рівняннями на­зивають такі рівняння, які містять шукану функцію однієї змінної та її похідні або диференціали.

Це означення у загальному вигляді математично можна записати

так

Р (х, у, У, У"   У {п)) = 0.

0 Означення 2. Найвищий порядок похідної, шр містить диферен­ціальне рівняння, називають порядком диференціального рівняння.

Наприклад, рівняння ху — 3у" = 2собх - другого порядку;

2

рівняння ут — х2 у' = 0 - третього порядку; рівняння у +— у = 3є~х

х

та х 2йх — ху(х = 0 - першого порядку.

0 Означення 3. Загальним розв'язком диференціального рівняння п -го порядку називають функцію у, яка залежить від ар­гументу х та п довільних сталих С1, С2, Сп, тобто має вигляд 352 у = <р(х ,С1,С2,...,Сп) яка, при її підстановці у рівняння, перетворює

рівняння у тотожність.

Загальний розв'язок диференціального рівняння може бути і не

розв'язаним відносно у, тобто мати вигляд Р (х, у, С1, С2,..., Сп ) = 0.

У цьому випадку його називають загальним інтегралом диферен­ціального рівняння.

0 Означення 4. Якщо у загальному розв'язку (інтегралі) дифе­ренціального рівняння замість довільних сталих записати фіксовані постійні числа, то одержаний розв'язок називають частинним роз­в'язком цього рівняння.

Найчастіше сталі С1, С2,..., Сп обирають не довільно, а так, щоб

розв'язок рівняння задовольняв деяким початковим умовам. Для знаходження п довільних сталих треба задати п початкових умов.

0 Означення 5. Сумісне завдання диференціального рівняння та відповідної кількості початкових умов називають задачею Коші.

Наприклад, для диференціального рівняння першого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

Р (х, у, у' ) = 0

у | х=х0 = у0

Для диференціального рівняння другого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

 

Р (х, у, у', у" ) = 0

у і х=х0 = у0

 

у

У дослідженнях різноманітних життєвих та економічних проблем найчастіше використовують диференціальні рівняння першого та другого порядків певних типів та відповідні їм задачі Коші.

В теорії звичайних диференціальних рівнянь можна виділити дві основні задачі:

знаходження диференціального рівняння та початкових умов, які описують ситуацію або процес, який досліджують;

розв'язування заданої задачі Коші або знаходження загального розв'язку заданого диференціального рівняння.

Розглянемо декілька прикладів розв'язування цих основних задач.

 

Оцените книгу: Проголосовало: 5 Рейтинг: 5

 

Комментарии:

Комментарий добавил: люда
Дата: 2013-12-15

Для данной книги нет комментариев.

Добавление комментария: